✏️ Jak korzystać z kalkulatora wartości własnych

Wartości i wektory własne to zadanie, w którym łączy się wszystko z algebry liniowej: wyznacznik, rozkład wielomianu na czynniki i układ równań jednorodnych. Nasz kalkulator wartości własnych przeprowadza cię przez każdy z tych etapów i na końcu sprawdza, że dla każdego wektora $Av = \lambda v$.

👉 Otwórz kalkulator wartości własnych

Co potrafi kalkulator

• Wielomian charakterystyczny. Kalkulator zapisuje wyznacznik $\det(A - \lambda I)$, rozwija go i rozkłada na czynniki, jeśli to możliwe.
• Wartości własne z krotnościami. Pierwiastki wielomianu podaje w postaci dokładnej, także niewymierne i zespolone, np. $\lambda = \pm i$ dla macierzy obrotu.
• Wektory własne. Dla każdej wartości własnej rozwiązuje układ jednorodny $(A - \lambda I)\,v = 0$ i podaje wektory bazowe. Ułamki skraca tak, żeby wektor miał możliwie małe liczby całkowite, np. $\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$ zamiast $\begin{bmatrix} -\frac{1}{2} \\ 1 \end{bmatrix}$.
• Sprawdzony wynik. Dla każdej pary $\lambda$, $v$ kalkulator liczy $Av$ i porównuje z $\lambda v$.
• Macierze do $4 \times 4$ i link do każdego rozwiązania.

Jak wpisać macierz

Rozmiar ustawiasz przyciskami $-$ i $+$ albo szybkimi rozmiarami $2 \times 2$, $3 \times 3$, $4 \times 4$. Puste pole oznacza $0$. W polach działają liczby całkowite, ułamki, np. 1/2, i przecinek dziesiętny, np. 0,5.

Między polami przechodzisz klawiszem Enter, Tab albo strzałkami, a Ctrl+Enter od razu liczy wynik. Macierz możesz też wkleić z Excela, z tekstu albo z LaTeX-a. Przycisk „Losowa” losuje macierz o całkowitych wartościach własnych, więc dobrze nadaje się do ćwiczeń.

Przykłady krok po kroku

Dlaczego mój wektor własny jest inny?

Wektor własny jest wyznaczony z dokładnością do pomnożenia przez liczbę różną od zera. Jeśli dla $\lambda = 2$ wyszedł ci wektor $\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}$ albo $\begin{bmatrix} -\frac{1}{2} \\ 1 \end{bmatrix}$, to też jest dobrze, bo to wielokrotności wyniku z kalkulatora. Najprostszy test: pomnóż macierz przez swój wektor i sprawdź, czy wychodzi ten sam wektor pomnożony przez $\lambda$.

Przy wartości własnej o krotności większej niż $1$ wektorów bazowych może być kilka. Wtedy każda ich kombinacja liniowa (różna od zera) też jest wektorem własnym.

Wyjaśnienia AI dla kursantów

Pod ostatnim krokiem jest przycisk „Dokładniejsze wytłumaczenie”. Asystent widzi całe rozwiązanie, więc możesz zapytać np. „jak z macierzy $A - 2I$ odczytać wektor własny?” i dopytywać jak na korepetycjach. Asystent jest dostępny dla osób z kursem na nasesje.com.

Przydadzą ci się też inne kalkulatory do algebry: wyznacznik macierzy, układy równań liniowych i rząd macierzy.

👉 Policz wartości własne w kalkulatorze