Wyznacznik pojawia się prawie w każdym zadaniu z algebry liniowej: przy macierzy odwrotnej, wzorach Cramera i wartościach własnych. Nasz kalkulator wyznacznika macierzy liczy go tak, jak robi się to ręcznie, i pokazuje każdy krok: od wzoru dla , przez regułę Sarrusa, po rozwinięcie Laplace'a dla większych macierzy.
👉 Otwórz kalkulator wyznacznika
Co potrafi kalkulator
- Metoda dobrana do rozmiaru. Dla macierzy kalkulator używa wzoru , dla reguły Sarrusa, a dla większych najpierw zeruje prawie całą kolumnę albo wiersz i dopiero potem rozwija wyznacznik metodą Laplace'a. Dzięki temu rozwinięcie ma jeden składnik zamiast czterech.
- Wybór metody. Możesz wymusić rozwinięcie Laplace'a (dla macierzy do ) albo sprowadzenie do postaci trójkątnej eliminacją Gaussa, jeśli tak liczycie na zajęciach.
- Opisane operacje. Przy zerowaniu widzisz zapis typu i wyjaśnienie, dlaczego taka operacja nie zmienia wyznacznika. Przy postaci trójkątnej kalkulator pilnuje znaku: każda zamiana wierszy mnoży wyznacznik przez .
- Wynik sprawdzony drugą metodą. Kalkulator liczy wyznacznik jeszcze raz, niezależnie od kroków, i porównuje oba wyniki.
- Dokładne ułamki i macierze do .
Jak wpisać macierz
Rozmiar ustawiasz przyciskami i albo szybkimi rozmiarami , , . Puste pole oznacza , więc przy macierzach z dużą liczbą zer wpisujesz tylko niezerowe elementy. W polach działają liczby całkowite, ułamki, np. 1/2, i przecinek dziesiętny, np. 0,5.
Między polami przechodzisz klawiszem Enter, Tab albo strzałkami, a Ctrl+Enter od razu liczy wynik. Macierz możesz też wkleić z Excela, z tekstu albo z LaTeX-a. Kliknij pierwsze pole i wklej, a rozmiar dopasuje się sam.
Przykłady krok po kroku
Reguła Sarrusa dla macierzy
Kalkulator dopisuje z prawej strony dwie pierwsze kolumny, dodaje iloczyny na przekątnych w dół i odejmuje iloczyny na przekątnych w górę:
Macierz : zerowanie kolumny i rozwinięcie Laplace'a
W drugiej kolumnie są już dwa zera. Kalkulator odejmuje od drugiego wiersza trzeci pomnożony przez i w tej kolumnie zostaje jeden niezerowy element. Rozwinięcie Laplace'a ma wtedy tylko jeden składnik z wyznacznikiem :
Macierz : postać trójkątna
W każdej kolumnie kalkulator zamienia wiersze tak, żeby elementem wiodącym była jedynka, i zeruje elementy pod nią. Zamian wierszy było cztery, więc znak się nie zmienia, bo . W postaci trójkątnej wyznacznik to iloczyn elementów na przekątnej:
Własności, które przyspieszają liczenie
- Dodanie do wiersza wielokrotności innego wiersza nie zmienia wyznacznika. Na tym opiera się zerowanie przed rozwinięciem Laplace'a.
- Zamiana dwóch wierszy (albo kolumn) zmienia znak wyznacznika.
- Jeśli macierz ma wiersz zer albo dwa proporcjonalne wiersze, wyznacznik jest równy .
- Wyznacznik macierzy trójkątnej to iloczyn elementów na przekątnej.
Reguła Sarrusa działa tylko dla macierzy . Dla i większych trzeba użyć rozwinięcia Laplace'a albo postaci trójkątnej. To częsty błąd na kolokwium.
Wyjaśnienia AI dla kursantów
Pod ostatnim krokiem jest przycisk „Dokładniejsze wytłumaczenie”. Asystent widzi całe rozwiązanie, więc możesz zapytać np. „dlaczego rozwijamy właśnie względem drugiej kolumny?” i dopytywać jak na korepetycjach. Asystent jest dostępny dla osób z kursem na nasesje.com.
Przydadzą ci się też inne kalkulatory do algebry: macierz odwrotna, układy równań liniowych i wartości własne.
