Jak korzystać z kalkulatora układów równań

Rozwiązujesz układy równań na algebrę i chcesz sprawdzić, czy nigdzie nie zgubiłeś znaku? Nasz kalkulator układów równań liniowych nie podaje samego wyniku. Pokazuje macierz uzupełnioną, każdą operację na wierszach i wniosek z twierdzenia Kroneckera-Capellego, a na końcu sam wstawia rozwiązanie do równań i sprawdza, czy się zgadza.

👉 Otwórz kalkulator układów równań

Co potrafi kalkulator

Eliminacja Gaussa albo wzory Cramera. Metodę wybierasz jednym kliknięciem. Przy eliminacji każda operacja jest opisana tak jak na ćwiczeniach, np. $w_2 - 2w_1$ albo $w_1 \leftrightarrow w_2$ .
Każdy typ układu. Jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań z parametrem $t$ albo układ sprzeczny. Kalkulator pokazuje porównanie rzędów z twierdzenia Kroneckera-Capellego, więc widać, skąd bierze się odpowiedź.
Dokładne ułamki. Obliczenia idą na ułamkach zwykłych, bez zaokrągleń. Jeśli wychodzi $\frac{7}{3}$ , zobaczysz $\frac{7}{3}$ , a nie 2,333.
Do 6 równań i 6 niewiadomych. Przy trzech niewiadomych kalkulator używa liter $x$ , $y$ , $z$ , przy większej liczbie $x_1, x_2, \ldots$
Sprawdzony wynik. Rozwiązanie jest wstawiane do każdego równania wyjściowego. Gdy wszystko się zgadza, przy wyniku widzisz znaczek „Rozwiązanie sprawdzone podstawieniem”.
Link do rozwiązania. Każde rozwiązanie ma własny adres, który możesz wysłać znajomym z grupy.

Jak wpisać układ

Każde równanie to jeden wiersz tabeli: najpierw współczynniki przy niewiadomych, a po znaku równości wyraz wolny. Jeśli jakiejś niewiadomej w równaniu nie ma, jej współczynnik to $0$ , więc pole możesz zostawić puste. Pod tabelą widzisz podgląd układu w zwykłym zapisie, dzięki czemu pomyłkę wychwycisz jeszcze przed liczeniem.

W polach wpiszesz liczby całkowite, ułamki zwykłe, np. 1/2, i liczby z przecinkiem, np. 0,5. Między polami przechodzisz klawiszem Enter, Tab albo strzałkami, a Ctrl+Enter od razu liczy wynik. Układ możesz też wkleić w całości, np. skopiowany z Excela albo z LaTeX-a: kliknij pierwsze pole i wklej, a rozmiar tabeli dopasuje się sam. Przycisk „Losowa” losuje układ z całkowitym rozwiązaniem, więc przyda się do ćwiczeń.

Przykłady krok po kroku

Eliminacja Gaussa: układ z jednym rozwiązaniem

$\begin{cases} 2x + y - z = 8 \\ -3x - y + 2z = -11 \\ -2x + y + 2z = -3 \end{cases}$

Kalkulator zapisuje macierz uzupełnioną $[A \mid b]$ i kolumna po kolumnie zeruje elementy poza przekątną. Na końcu porównuje rzędy: $\operatorname{rz} A = \operatorname{rz}[A \mid b] = 3$ , czyli tyle, ile jest niewiadomych. Układ ma więc dokładnie jedno rozwiązanie:

$x = 2, \quad y = 3, \quad z = -1$

Zobacz to rozwiązanie w kalkulatorze

Wzory Cramera: układ dwóch równań

$\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - y = 0 \end{cases}$

Kalkulator liczy wyznacznik główny $W = -3$ , a potem wyznaczniki $W_x = -3$ i $W_y = -6$ , w których odpowiednią kolumnę zastępuje kolumną wyrazów wolnych. Ze wzorów Cramera:

$x = \frac{W_x}{W} = 1, \quad y = \frac{W_y}{W} = 2$

Zobacz to rozwiązanie w kalkulatorze

Nieskończenie wiele rozwiązań

$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x - y + 3z = 1 \\ 3x + y + 2z = 4 \end{cases}$

Trzecie równanie to suma dwóch pierwszych, więc po eliminacji zostają tylko dwa niezależne równania. Rzędy są równe, $\operatorname{rz} A = \operatorname{rz}[A \mid b] = 2$ , ale mniejsze od liczby niewiadomych. Jedna niewiadoma jest dowolna, więc kalkulator oznacza ją parametrem $t$ :

$x = 1 - t, \quad y = 1 + t, \quad z = t, \quad t \in \mathbb{R}$

Zobacz to rozwiązanie w kalkulatorze

Układ sprzeczny

$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + 2y + 3z = 2 \\ 2x + 3y + 4z = 4 \end{cases}$

Lewa strona trzeciego równania to suma lewych stron dwóch pierwszych, ale prawa strona już nie: $1 + 2 \neq 4$ . Po eliminacji w ostatnim wierszu zostaje równanie $0 = 1$ . Rzędy się różnią, $\operatorname{rz} A = 2$ i $\operatorname{rz}[A \mid b] = 3$ , więc układ nie ma rozwiązań.

Zobacz to rozwiązanie w kalkulatorze

Gauss czy Cramer?

Wzory Cramera działają tylko wtedy, gdy układ ma tyle samo równań co niewiadomych, a wyznacznik główny $W$ jest różny od zera. Przy trzech niewiadomych trzeba policzyć aż cztery wyznaczniki $3 \times 3$ , więc eliminacja Gaussa zwykle jest szybsza i mniej podatna na pomyłki. Gdy $W = 0$ , kalkulator przy metodzie Cramera napisze wprost, że wzorów nie da się użyć, i podpowie eliminację Gaussa. Wtedy układ jest sprzeczny albo ma nieskończenie wiele rozwiązań, a rozstrzyga to dopiero porównanie rzędów.

Wyjaśnienia AI dla kursantów

Pod ostatnim krokiem jest przycisk „Dokładniejsze wytłumaczenie”. Asystent widzi całe rozwiązanie, więc możesz zapytać wprost, np. „dlaczego w kroku 2 odejmujemy właśnie ten wiersz?”, i dopytywać jak na korepetycjach. Asystent jest dostępny dla osób z kursem na nasesje.com.

Przydadzą ci się też inne kalkulatory do algebry: wyznacznik macierzy, rząd macierzy i macierz odwrotna.

👉 Rozwiąż swój układ w kalkulatorze

✏️ Jak korzystać z kalkulatora układów równań

Co potrafi kalkulator

Jak wpisać układ

Przykłady krok po kroku

Eliminacja Gaussa: układ z jednym rozwiązaniem

Wzory Cramera: układ dwóch równań

Nieskończenie wiele rozwiązań

Układ sprzeczny

Gauss czy Cramer?

Wyjaśnienia AI dla kursantów

🫵 Materiał ci pomógł?

Więcej informacji

Kalkulatory

Kursy

Pomocne linki

Kontakt

Social media