✏️ Potęgowanie jednostki urojonej (artykuł i film)

Wolisz oglądać niż czytać? Na dole znajduje się link do filmu o tej samej treści.

Rozważymy 4 przypadki potęgowania jednostki urojonej bo jak je ogarniesz to możesz rozwiązać każdy przykład bo mamy tylko 4 możliwe wyniki potęgowania i. Poniżej możesz je zobaczyć na płaszczyźnie zespolonej.

Przykład 1: $i^{24}$

Nie wiadomo od razu ile to jest, ale definicja jednostki urojonej mówi, że i podniesione do kwadratu równa się minus jeden.

$$i^2 = -1$$

24 to parzysta liczba, więc taką potęgę $24$ da się rozbić $2*12$, wykładniki się wymnażają do $24$.

Za $i^2$ dajemy $-1$ a $-1$ do parzystej potęgi to $1$.

$$i^{24} = (i^2)^{12} = (-1)^{12} = 1$$

Przykład 2: $i^{10}$

Znowu mamy w wykładniku parzystą liczbę, więc możemy ją rozbić na mnożenie $2*5$.

$i^2$ to $-1$ a $(-1)^5$ to też $-1$.

$$i^{10}=(i^{2})^5=(-1)^5=-1$$

Przykład 3: $i^{33}$

Nie da się tutaj zastosować mnożenia wykładników bo $33$ nie dzieli się przez $2$, ale zrobimy małą sztuczkę.

Rozbijemy $i^{33}$ na $i \cdot i^{32}$

W przypadku mnożenia potęg o tych samych podstawach, wykładniki się dodaje, więc niczego nam to nie zmienia.

$$i^{33}=i \cdot i^{32} =...$$

Teraz można już rozbić $i^{32}$ na $(i^2)^{16}$, wstawić $-1$ za $i^2$ i zostaje nam z tego $i*1$, czyli po prostu $i$

$$..=i\cdot(i^2)^{16}=i\cdot(-1)^{16}=i\cdot1=i$$

Przykład 4: $i^{3199}$

Znowu nieparzysty wykładnik, więc rozbijamy go na $i \cdot i^{3198}$. Następnie możemy rozbić ten wykładnik na $2 \cdot 1599$.

$(i^2)^{1599}$ to $-1$ do nieparzystej potęgi, a więc wciąż $-1$. Naszym wynikiem jest minus i.

$$i^{3199}=i\cdot i^{3198}=i\cdot (i^2)^{1599}=i\cdot (-1)=-i$$

Kliknij miniaturkę aby zobaczyć film na Tiktoku

🧮 Sprawdź się w kalkulatorze liczb zespolonych: wpisz np. i^2025, a kalkulator pokaże, jak wykorzystać resztę z dzielenia wykładnika przez 4.