Jak korzystać z kalkulatora całek oznaczonych

Kalkulator całek oznaczonych liczy całkę po przedziale tak, jak robi się to na ćwiczeniach. Najpierw wyznacza funkcję pierwotną i pokazuje, jak do niej doszedł, potem podstawia granice ze wzoru Newtona-Leibniza. Radzi sobie też z całkami niewłaściwymi i mówi wprost, kiedy całka jest rozbieżna.

👉 Otwórz kalkulator całek oznaczonych

Co potrafi kalkulator

Funkcja pierwotna krok po kroku. Podstawienie, całkowanie przez części, ułamki proste i wzory z tablicy, rozpisane po polsku.
Wzór Newtona-Leibniza. Kalkulator zapisuje $\int_a^b f(x)\,dx = \left[F(x)\right]_a^b = F(b) - F(a)$ i pokazuje obie wartości.
Całki niewłaściwe. Granicę $\infty$ wpisujesz jako inf albo ∞. Gdy przedział jest nieskończony albo funkcja nie istnieje w którymś punkcie, kalkulator liczy granice funkcji pierwotnej.
Rozbieżność. Jeśli któraś granica jest nieskończona, dostajesz informację „Całka jest rozbieżna” razem z obliczeniami, które to pokazują.
Sprawdzenie numeryczne i przybliżenie. Wynik każdej zbieżnej całki kalkulator porównuje z całkowaniem numerycznym, a wynik niewymierny podaje też w przybliżeniu dziesiętnym.
Wykres z polem. Pod rozwiązaniem rysuje się wykres $f(x)$ z zacienionym polem między granicami.
Asystent AI dla kursantów. Pod rozwiązaniem jest przycisk „Dokładniejsze wytłumaczenie”. Osoby z kursem na nasesje.com mogą tam dopytać AI o dowolny krok.

Jak wpisać całkę i granice

Wpisujesz funkcję podcałkową, a w polach „od” i „do” granice całkowania. Zmienną całkowania zmienisz, klikając $dx$ przy polu. Liczbę $\pi$ wpisujesz jako pi albo π, np. pi/2, a nieskończoność jako inf, ∞ albo -inf. Gdy dolna granica jest większa od górnej, kalkulator zamieni je miejscami i zmieni znak całki.

Przykłady krok po kroku

Wzór Newtona-Leibniza: $\int_0^2 x^2\,dx$

Funkcja pierwotna to $F(x) = \frac{x^3}{3}$ , więc

$\int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$

Zobacz to rozwiązanie w kalkulatorze

Pole pod sinusoidą: $\int_0^{\pi} \sin x\,dx$

$\int_0^{\pi} \sin x\,dx = \left[-\cos x\right]_0^{\pi} = 1 - (-1) = 2$

Zobacz to rozwiązanie w kalkulatorze

Całka niewłaściwa zbieżna: $\int_1^{\infty} \frac{dx}{x^2}$

Funkcja pierwotna to $F(x) = -\frac{1}{x}$ . Zamiast wstawiać $\infty$ , kalkulator liczy granicę $\lim_{x \to \infty} F(x) = 0$ :

$\int_1^{\infty} \frac{dx}{x^2} = 0 - (-1) = 1$

Zobacz to rozwiązanie w kalkulatorze

Całka niewłaściwa rozbieżna: $\int_1^{\infty} \frac{dx}{x}$

Funkcja pierwotna to $\ln\lvert x\rvert$ , a $\lim_{x \to \infty} \ln x = \infty$ , więc całka jest rozbieżna.

Zobacz to rozwiązanie w kalkulatorze

Obie granice nieskończone: $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1 + x^2}$

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1 + x^2} = \frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \pi$

Zobacz to rozwiązanie w kalkulatorze

Funkcja nieokreślona na końcu przedziału: $\int_0^4 \frac{dx}{\sqrt{x}}$

Funkcja $\frac{1}{\sqrt{x}}$ nie istnieje w zerze, więc to też całka niewłaściwa. Kalkulator liczy granicę funkcji pierwotnej $2\sqrt{x}$ przy $x \to 0^+$ i dostaje

$\int_0^4 \frac{dx}{\sqrt{x}} = 4 - 0 = 4$

Zobacz to rozwiązanie w kalkulatorze

Najczęstsze błędy przy całkach oznaczonych

Pominięcie punktu, w którym funkcja nie istnieje. Całka $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2}$ wygląda niewinnie, ale $\frac{1}{x^2}$ nie istnieje w zerze i ta całka jest rozbieżna. Bezmyślne podstawienie granic dałoby $-2$ , a to wynik ujemny dla funkcji dodatniej.
Pomylona kolejność. We wzorze Newtona-Leibniza od wartości w górnej granicy odejmujemy wartość w dolnej: $F(b) - F(a)$ .
Zgubiony minus w funkcji pierwotnej, np. $\int \sin x\,dx = -\cos x$ , a nie $\cos x$ .

Kalkulator pilnuje wszystkich trzech rzeczy, a wykres z polem pozwala szybko sprawdzić, czy wynik ma sens.

Szukasz samej funkcji pierwotnej? Skorzystaj z kalkulatora całek nieoznaczonych. Liczysz pochodne? Sprawdź kalkulator pochodnych.

👉 Policz swoją całkę oznaczoną w kalkulatorze

✏️ Jak korzystać z kalkulatora całek oznaczonych

Co potrafi kalkulator

Jak wpisać całkę i granice

Przykłady krok po kroku

Wzór Newtona-Leibniza: $\int_0^2 x^2\,dx$

Pole pod sinusoidą: $\int_0^{\pi} \sin x\,dx$

Całka niewłaściwa zbieżna: $\int_1^{\infty} \frac{dx}{x^2}$

Całka niewłaściwa rozbieżna: $\int_1^{\infty} \frac{dx}{x}$

Obie granice nieskończone: $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1 + x^2}$

Funkcja nieokreślona na końcu przedziału: $\int_0^4 \frac{dx}{\sqrt{x}}$

Najczęstsze błędy przy całkach oznaczonych

Studiuj bez stresu

Więcej informacji

Kalkulatory

Kursy

Pomocne linki

Kontakt

Social media

✏️ Jak korzystać z kalkulatora całek oznaczonych

Co potrafi kalkulator

Jak wpisać całkę i granice

Przykłady krok po kroku

Wzór Newtona-Leibniza: ∫02x2 dx\int_0^2 x^2\,dx∫02​x2dx

Pole pod sinusoidą: ∫0πsin⁡x dx\int_0^{\pi} \sin x\,dx∫0π​sinxdx

Całka niewłaściwa zbieżna: ∫1∞dxx2\int_1^{\infty} \frac{dx}{x^2}∫1∞​x2dx​

Całka niewłaściwa rozbieżna: ∫1∞dxx\int_1^{\infty} \frac{dx}{x}∫1∞​xdx​

Obie granice nieskończone: ∫−∞∞dx1+x2\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1 + x^2}∫−∞∞​1+x2dx​

Funkcja nieokreślona na końcu przedziału: ∫04dxx\int_0^4 \frac{dx}{\sqrt{x}}∫04​x​dx​

Najczęstsze błędy przy całkach oznaczonych

Studiuj bez stresu

Więcej informacji

Kalkulatory

Kursy

Pomocne linki

Kontakt

Social media

Wzór Newtona-Leibniza: $\int_0^2 x^2\,dx$

Pole pod sinusoidą: $\int_0^{\pi} \sin x\,dx$

Całka niewłaściwa zbieżna: $\int_1^{\infty} \frac{dx}{x^2}$

Całka niewłaściwa rozbieżna: $\int_1^{\infty} \frac{dx}{x}$

Obie granice nieskończone: $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1 + x^2}$

Funkcja nieokreślona na końcu przedziału: $\int_0^4 \frac{dx}{\sqrt{x}}$