✏️ Jak korzystać z kalkulatora całek nieoznaczonych

Liczysz całki przed kolokwium i chcesz sprawdzić, czy dobrze ci idzie? Nasz kalkulator całek nieoznaczonych nie podaje samego wyniku. Rozpisuje każde przekształcenie tak, jak zrobiłby to prowadzący na ćwiczeniach, a na końcu sprawdza wynik różniczkowaniem.

👉 Otwórz kalkulator całek nieoznaczonych

Co potrafi kalkulator

• Rozwiązanie krok po kroku. Każdy krok ma tytuł, krótkie wyjaśnienie po polsku i wzory, a kolory pokazują, co gdzie podstawiamy.
• Metody z ćwiczeń. Kalkulator wybiera metodę, którą pokazałby prowadzący: całkowanie przez podstawienie, przez części (także z równaniem na $I$), rozkład na ułamki proste, wzory trygonometryczne i wzory z tablicy całek.
• Sprawdzony wynik. Pochodna znalezionej funkcji pierwotnej musi dać funkcję podcałkową. Gdy to się zgadza, przy wyniku widzisz znaczek „Wynik sprawdzony różniczkowaniem”.
• Interaktywny wykres. Pod rozwiązaniem rysuje się wykres $f(x)$ i $F(x) + C$. Możesz go przesuwać, przybliżać, zmieniać stałą $C$ i odczytywać wartości funkcji.
• Link do rozwiązania. Każde rozwiązanie ma własny adres, który możesz wysłać znajomym z grupy.
• Asystent AI dla kursantów. Jeśli masz kurs na nasesje.com, możesz dopytać AI o dowolny krok, np. „skąd wziął się ten wzór?” albo „dlaczego akurat takie podstawienie?”.

Jak wpisać całkę

Wpisujesz samą funkcję podcałkową, bez znaku całki i bez $dx$. Domyślnie całkujesz po $x$, a inną zmienną, np. $t$, wybierzesz, klikając $dx$ przy polu. Pozostałe litery, np. $a$ w $\int \frac{dx}{x^2 + a^2}$, kalkulator traktuje jak stałe dodatnie. Znak mnożenia i nawiasy przy funkcjach możesz pomijać: x sin x i lnx kalkulator rozumie tak samo jak x*sin(x) i ln(x). Działa też przecinek dziesiętny, np. 2,5x.

Wpisz	Kalkulator rozumie
x^2, x^(1/3)	$x^2$, $x^{\frac{1}{3}}$
sqrt(x) albo √x	$\sqrt{x}$
e^x	$e^x$
ln x, log x	$\ln x$, $\log_{10} x$
sin x, tg x, ctg x	$\sin x$, $\operatorname{tg} x$, $\operatorname{ctg} x$
arcsin x, arctg x	$\arcsin x$, $\operatorname{arctg} x$
sin^2 x	$\sin^2 x$
|x|	$\lvert x \rvert$

Pod polem widzisz podgląd, który pokazuje, jak kalkulator odczytał wyrażenie. Jeśli coś się nie zgadza, zauważysz to jeszcze przed liczeniem.

Przykłady krok po kroku

Twój wynik wygląda inaczej?

Nie musi to oznaczać błędu. Funkcje pierwotne tej samej funkcji różnią się o stałą, więc $\sin^2 x + C$ i $-\cos^2 x + C$ to ta sama odpowiedź. Ten sam wynik da się też zapisać na kilka sposobów, np. $\ln\lvert x\rvert + \ln 2 = \ln\lvert 2x\rvert$. Najprostszy test: zróżniczkuj swój wynik. Jeśli wychodzi funkcja podcałkowa, wszystko jest dobrze.

Kiedy kalkulator nie pomoże

Niektórych całek, np. $\int e^{-x^2}\,dx$, nie da się zapisać za pomocą funkcji elementarnych. Kalkulator poda wtedy wynik z funkcją specjalną i wyraźnie to zaznaczy. Bardzo skomplikowane wyrażenia mogą też liczyć się zbyt długo. Po 30 sekundach kalkulator przerywa obliczenia i prosi o prostszy zapis.

Wyjaśnienia AI dla kursantów

Pod ostatnim krokiem jest przycisk „Dokładniejsze wytłumaczenie”. Asystent widzi całe rozwiązanie, więc możesz zapytać wprost o to, czego nie rozumiesz, np. „wyjaśnij krok 3 dokładniej”, i dopytywać jak na korepetycjach. Asystent jest dostępny dla osób z kursem na nasesje.com.

Masz do policzenia całkę z granicami? Skorzystaj z kalkulatora całek oznaczonych. Liczysz pochodne? Sprawdź kalkulator pochodnych.

👉 Policz swoją całkę w kalkulatorze